😍 Модульний калькулятор

zonemodulocalculator

Пасьянс
Маджонг
Змійка
Сапер
2048

Українська
- Azərbaycan dili
- Bahasa Indonesia
- Bahasa Melayu
- Català
- Dansk
- Deutsch
- Eesti
- English
- Español
- Ελληνικά
- Filipino
- Français
- Hrvatski
- Italiano
- Latviešu
- Lietuvių
- Magyar
- Nederlands
- Norsk
- Polski
- Português
- Română
- Shqip
- Slovenčina
- Slovenščina
- Srpski
- Suomi
- Svenska
- Tiếng Việt
- Türkçe
- Čeština
- Български
- Македонски
- Русский
- Українська
- العربية
- فارسی
- বাংলা
- עברית
- اردو
- हिन्दी
- ภาษาไทย
- ქართული
- 简体中文
- 繁體中文
- 日本語
- 한국어

Налаштування
Формули

Інформація
Модульний калькулятор
В арифметиці, криптографії та теорії чисел широко застосовується така математична операція, як розподіл із залишком. Її застосовують до цілих і натуральних чисел, які можуть виступати в ролі діленого та дільника. Коли перше ділиться на друге, утворюються ціле число і залишок, менший за ділимо. Наприклад, при розподілі 17 на 3 виходить ціле число 5, а залишком стає число 2. Загальна формула має такий вигляд: a = b ⋅ q + r, де a і b — цілі числа, і b не дорівнює нулю. Залишок розподілу r не повинен бути негативним числом, і завжди є меншим, ніж b (дільник).
Найпоширеніший і найпростіший спосіб поділу із залишком — у стовпчик, який вивчають ще в початкових класах школи. Розрахунок також можна провести методом підбору неповного приватного та через послідовне віднімання. Ці методи застосовуються щодо цілих та натуральних чисел. У вищій математиці також розглядаються методи розподілу без залишку багаточленів, речових чисел і цілих гаусових чисел.
Історія виникнення
Поділ із залишком також називають евклідовим розподілом, але археологічні дослідження свідчать, що давньогрецький математик Евклід — не перший, хто сформулював правила цієї математичної операції. Так, вона застосовувалася задовго до його життя — понад 2000 років до нашої ери, у Стародавньому Єгипті.
Єгиптяни вже тоді знали ознаки ділимості на числа від 2 до 10, а в III столітті до нашої ери цю тему розвинув олександрійський вчений Ератосфен Кіренський. Він становив перелік простих чисел від 1 до 100, у якому шляхом виключення були закреслені все складові числа. Решта, не закреслені числа (з 2 до 97 з інтервалами) є простими, — цю послідовність, яку назвали решетом Ератосфена, можна продовжувати до нескінченності: від 100 і більше, для всіх наступних цілих чисел.
Приблизно в той же час - у III столітті до нашої ери - математик Евклід з Олександрії використав (але не винайшов) новий алгоритм розрахунку. Про те, що це не його винахід, можна стверджувати з повною впевненістю, оскільки алгоритм був описаний у «Топіку» Аристотеля ще в VI столітті до н. Проте саме Евклід дав вичерпний опис поділу без залишку, представивши його як «знаходження загальної міри двох відрізків». Згадка про цей метод зустрічається у VII книзі «Початок» (для знаходження найбільшого спільного дільника двох натуральних чисел), і в X книзі «Початок» (для знаходження найбільшої загальної міри двох однорідних величин).
Згідно з алгоритмом Евкліда, при розподілі одного цілого числа на інше утворюється нова пара чисел, що складається з меншого числа і різниці між ним і великим числом. При багаторазовому повторенні операції числа прирівнюються один до одного, і отримане значення, і є найбільшим спільним дільником для даної числової пари.
У Стародавній Греції та Стародавньому Римі метод Евкліда застосовувався лише щодо довжин, площ та обсягів. Його тривалий час використовували в інженерних розрахунках, будівництві, кораблебудуванні та багатьох інших науках/ремеслах. Дослідження продовжилися в XIII столітті, коли італійський математик Леонардо Пізанський (відоміший на прізвисько Фібоначчі), вивів ознаки ділимості для цілих чисел. Наприклад, він встановив, що при розподілі кожного числа наступне за ним (17 на 18, 45 на 46) через одне значення виходить число 0,382; а при зворотній операції – 2,618.
У ті часи — без обчислювальних пристроїв та теоретичної бази — такі складні розрахунки були доступні лише видатним математикам, і подальший внесок у тему поділу без залишку було внесено лише у XVII столітті: Джозефом Рафсоном (Joseph Raphson), Ісааком Ньютоном (Isaac Newton) ) та Блезом Паскалем (Blaise Pascal).
Ньютон і Рафсон вивели новий спосіб поділу, який залежить від системи числення, а Паскаль розробив алгоритм, яким кожне ціле число можна розділити інше ціле число. До речі, саме Паскаль у XVII столітті винайшов і активно використовував у обчисленнях підсумовувальну машину — прообраз арифмометра, винайденого 1873 року.
Щодо назви «евклідовий поділ», то воно з'явилося лише в XIX столітті — як скорочення від «розподілу евклідових кілець». Якщо в давні часи метод Евкліда застосовували тільки щодо довжин, площ та обсягів, то європейські дослідження XVII-XIX століть дозволили застосовувати його до поліномів (від однієї змінної) та цілих чисел Гаусса. А в XX столітті цей алгоритм був поширений і на інші розділи математики, зокрема на вузли та багатовимірні поліноми.
І хоча поділ без залишку був відомий стародавнім цивілізаціям задовго до життя Евкліда, саме з його ім'ям (і з його методом) сьогодні асоціюють цю поширену математичну операцію, яка стала особливо корисною в епоху глобальної цифровізації та комп'ютеризації.
Допомога
Як обчислити модуль
Якщо в калькуляторі розділити одне натуральне число на інше — не кратне першому, результат обчислення буде представлений у вигляді десяткового числа: з цілим значенням до коми та з дробовим після коми. Це найпоширеніший спосіб розподілу, але він не відображає, яке ціле/натуральне число йде в залишок.
Наприклад, якщо розділити 15 на 4, залишком буде число 3, а при розподілі 8 на 3 — 2. Це ніяк не можна зрозуміти за результатами калькуляції, які становитимуть 3,75 та 2,66 відповідно. Тому операція поділу із залишком — це окрема процедура, для якої передбачені свої онлайн-калькулятори та арифметичні правила.
Поділ із залишком цілих позитивних чисел
Кількість, яку ділять, називається ділимою, а те, на яку ділять — дільником. Відповідно, якщо ділене, і дільник — цілі позитивні числа, формула розрахунку виглядатиме так: a = b ⋅ c + d, де a — ділене, b — дільник, c — неповне приватне, d — залишок. Цей метод особливо корисний визначення парності і непарності чисел. Так, якщо залишок від розподілу на 2 дорівнює нулю, число парне, а за інших значень — непарне.
Розглянемо приклад, коли 10 потрібно поділити на 3. Підставляємо значення у формулу і отримуємо: 10 = 3 ⋅ 3 + 1, відповідно — неподільний залишок дорівнює одиниці. Неповне приватне (другу трійку) ми отримали, розділивши поділення на дільник (10/3).
Поділ із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне
Знаходити залишок можна лише від поділу позитивних (натуральних) чисел, а й від поділу позитивних чисел на негативні. У цьому випадку формула виглядатиме так: d = a − b ⋅ c, де літерні позначення відповідають вищеописаним величинам. Шуканий залишок d знаходиться за таким алгоритмом:
Знаходження модулів (позитивних значень) діленого a та дільника b.
Поділ цих модулів — з отриманням неповного приватного c та залишку d.
Якщо a та b мають різні знаки («+» та «−»), до неповного приватного додається одиниця.
Після цього залишок обчислюється як d = a − b ⋅ c. Якщо взяти для прикладу ділене 17 та дільник −5, отримаємо неповне приватне 3 та неподільний залишок 2. Оскільки знаки у a та b протилежні, приватне робимо негативним числом −3, а залишок 2 залишаємо без змін.
Це правило також можна записати в текстовому вигляді: «в результаті розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне одержуємо число, протилежне результату розподілу модулів цих чисел». «Протилежне» в даному випадку означає те саме число, але з «перевернутим» знаком: «+» на «-» або «-» на «+».
Поділ із залишком цілого негативного числа на ціле позитивне
Виконання цієї математичної операції описується правилом: «щоб отримати неповне приватне при розподілі цілого негативного числа на ціле позитивне, потрібно застосувати протилежне даному числу і відняти з нього одиницю». Алгоритм дій у цьому випадку наступний:
Знаходження модулів дільника та дільника.
Поділ отриманих модулів.
Запис числа, протилежного до отриманого.
Віднімання одиниці з отриманого (протилежного) числа.
Наприклад, щоб розділити із залишком −19 на 6, необхідно привести −19 та 6 до загального модуля (зі знаком «+»), і зробити поділ, в результаті якого отримуємо приватне 3 та залишок 1. Змінюємо приватне на протилежне − 3 і віднімаємо від нього одиницю. Отримавши значення −4, знаходимо залишок за формулою (d = a − b ⋅ c): −19 − 6 ⋅ (−4) = −19 − (−24) = −19 + 24 = 5.
Поділ із залишком цілих негативних чисел
Якщо і ділене, і дільник - негативні числа, неподільний залишок знаходиться не з відніманням, а з додаванням одиниці. В повному вигляді правило виглядає так: «щоб отримати неповне приватне при розподілі цілих негативних чисел, потрібно зробити розподіл за модулем, і до отриманого значення додати 1». Тобто потрібно по черзі:
Знайти модулі дільника та дільника.
Поділити модулі з отриманням неповного приватного та залишку.
Додати одиницю до неповного приватного.
Після цього залишок знаходиться за стандартною формулою d = a − b ⋅ c — тією самою, що й у наведених вище прикладах. Наприклад, щоб поділити −22 на −5, потрібно спочатку поділити їх модулі (22 / 5) та отримати приватне 4 та залишок 2. Потім до приватного додаємо одиницю, отримуємо 5 та проводимо остаточний розрахунок: −22 − (−5) ⋅ 5 = −22 − (−25) = −22 + 25 = 3.
Аналогічно проводяться розрахунки з будь-якими іншими цілими числами. Після поділу завжди виходить цілий залишок зі знаком «+» або «−», який обов'язково має бути меншим від дільника.
Вручну проводити такі розрахунки не завжди зручно, а при роботі з великими числами — ще й надто складно, тому були створені спеціальні онлайн-калькулятори, які проводять розподіл не за десятковими дробами, а з отриманням цілого залишку.
Зв'язатися з нами
Конфіденційність

zonefirefly