😍 मॉड्यूलो कैलकुलेटर

modulocalculator·zone

सॉलिटेयर
माहजंग
साँप
माइनस्वीपर
2048

हिन्दी
- Azərbaycan dili
- Bahasa Indonesia
- Bahasa Melayu
- Català
- Dansk
- Deutsch
- Eesti
- English
- Español
- Ελληνικά
- Filipino
- Français
- Hrvatski
- Italiano
- Latviešu
- Lietuvių
- Magyar
- Nederlands
- Norsk
- Polski
- Português
- Română
- Shqip
- Slovenčina
- Slovenščina
- Srpski
- Suomi
- Svenska
- Tiếng Việt
- Türkçe
- Čeština
- Български
- Македонски
- Русский
- Українська
- العربية
- فارسی
- বাংলা
- עברית
- اردو
- हिन्दी
- ภาษาไทย
- ქართული
- 简体中文
- 繁體中文
- 日本語
- 한국어

विकल्प
फॉर्मूला

जानकारी
मॉड्यूलो कैलकुलेटर
अंकगणित, क्रिप्टोग्राफी और संख्या सिद्धांत में, शेष के साथ विभाजन के रूप में इस तरह के एक गणितीय ऑपरेशन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह पूर्ण और प्राकृतिक संख्याओं पर लागू होता है, जो भाज्य और भाजक के रूप में कार्य कर सकते हैं। जब पहले को दूसरे से विभाजित किया जाता है, तो एक पूर्णांक और विभाज्य से कम शेष बनता है। उदाहरण के लिए, 17 को 3 से विभाजित करने पर पूर्णांक 5 आता है और शेषफल 2 आता है। सामान्य सूत्र है: a = b ⋅ q + r, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य के बराबर नहीं है। विभाजन r का शेष ऋणात्मक संख्या नहीं होना चाहिए, और हमेशा b (भाजक) से छोटा होता है।
शेष के साथ विभाजित करने का सबसे आम और आसान तरीका एक कॉलम में है, जिसका अध्ययन प्राथमिक विद्यालय में किया जाता है। गणना अपूर्ण भागफल का चयन करके और अनुक्रमिक घटाव के माध्यम से भी की जा सकती है। ये विधियाँ पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं पर लागू होती हैं। उच्च गणित में, शेष बहुपदों, वास्तविक संख्याओं और गॉसियन पूर्णांकों के बिना विभाजन के तरीकों पर भी विचार किया जाता है।
घटना का इतिहास
शेष के साथ विभाजन को यूक्लिडियन विभाजन भी कहा जाता है, लेकिन पुरातात्विक शोध से पता चलता है कि प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड इस गणितीय संक्रिया के लिए नियम बनाने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। तो, यह उनके जीवन से बहुत पहले इस्तेमाल किया गया था - 2000 से अधिक वर्ष ईसा पूर्व, प्राचीन मिस्र में।
मिस्रवासी पहले से ही 2 से 10 तक की संख्या से विभाज्यता के संकेतों को जानते थे, और तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में इस विषय को साइरेन के एलेक्जेंड्रिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज द्वारा विकसित किया गया था। उन्होंने 1 से 100 तक की अभाज्य संख्याओं की एक सूची तैयार की, जिसमें सभी भाज्य संख्याओं को विलोपन द्वारा काट दिया गया। शेष, पार नहीं की गई संख्याएँ (अंतराल के साथ 2 से 97 तक) सरल हैं - यह क्रम, जिसे एराटोस्थनीज की छलनी कहा जाता था, को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है: 100 या अधिक से, बाद के सभी पूर्णांकों के लिए।
लगभग उसी समय, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में, अलेक्जेंड्रिया के गणितज्ञ यूक्लिड एक नई गणना एल्गोरिथ्म का उपयोग कर रहे थे (लेकिन आविष्कार नहीं कर रहे थे)। तथ्य यह है कि यह उनका आविष्कार नहीं है, पूरे विश्वास के साथ कहा जा सकता है, क्योंकि एल्गोरिथम को 6 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में अरस्तू के "विषय" में वर्णित किया गया था। फिर भी, यह यूक्लिड था जिसने शेष के बिना विभाजन का एक विस्तृत विवरण दिया, इसे "दो खंडों के सामान्य माप को खोजने" के रूप में प्रस्तुत किया। इस पद्धति का उल्लेख "शुरुआत" की सातवीं पुस्तक (दो प्राकृतिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए) और "शुरुआत" की एक्स पुस्तक (दो सजातीय मात्राओं का सबसे बड़ा सामान्य माप खोजने के लिए) में किया गया है।
यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म के अनुसार, जब एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित किया जाता है, तो संख्याओं की एक नई जोड़ी बनती है, जिसमें एक छोटी संख्या और उसके बीच का अंतर और एक बड़ी संख्या शामिल होती है। जब संक्रिया को कई बार दोहराया जाता है, तो संख्याएँ एक दूसरे के बराबर हो जाती हैं, और परिणामी मान दी गई संख्या जोड़ी के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है।
प्राचीन ग्रीस और प्राचीन रोम में, यूक्लिड पद्धति केवल लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन पर लागू होती थी। इसका उपयोग लंबे समय से इंजीनियरिंग गणना, निर्माण, जहाज निर्माण और कई अन्य विज्ञानों / शिल्पों में किया जाता रहा है। 13वीं शताब्दी में अनुसंधान जारी रहा, जब इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो ऑफ पीसा (उनके उपनाम फाइबोनैचि द्वारा बेहतर जाना जाता है) ने पूर्णांकों के लिए विभाज्यता मानदंड विकसित किया। उदाहरण के लिए, उन्होंने पाया कि प्रत्येक संख्या को अगले एक (17 से 18, 45 से 46) से विभाजित करते समय, संख्या 0.382 एक मान के माध्यम से प्राप्त होती है; और रिवर्स ऑपरेशन में - 2.618।
उन दिनों - कंप्यूटिंग उपकरणों और सैद्धांतिक आधार के बिना - इस तरह की जटिल गणना केवल उत्कृष्ट गणितज्ञों के लिए उपलब्ध थी, और बिना ट्रेस के विभाजन के विषय में और योगदान केवल 17 वीं शताब्दी में किए गए थे: जोसेफ राफसन, आइजैक न्यूटन ) और ब्लेज़ पास्कल।
न्यूटन और रैफसन ने विभाजित करने का एक नया संख्या-स्वतंत्र तरीका विकसित किया, और पास्कल ने एक एल्गोरिथ्म विकसित किया जिसके द्वारा प्रत्येक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से विभाजित किया जा सकता है। वैसे, यह पास्कल ही था जिसने 17वीं शताब्दी में आविष्कार किया और गणना में जोड़ने वाली मशीन का सक्रिय रूप से उपयोग किया - जोड़ने वाली मशीन का प्रोटोटाइप, जिसका आविष्कार 1873 में हुआ था।
जहां तक "यूक्लिडियन विभाजन" नाम का संबंध है, यह केवल 19वीं शताब्दी में - "यूक्लिडियन रिंगों के विभाजन" के संक्षिप्त नाम के रूप में प्रकट हुआ। यदि प्राचीन काल में यूक्लिड पद्धति का उपयोग केवल लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन के लिए किया जाता था, तो 17वीं-19वीं शताब्दी के यूरोपीय अध्ययनों ने इसे बहुपदों (एक चर से) और गॉसियन पूर्णांकों पर लागू करना संभव बना दिया। और 20वीं शताब्दी में, इस एल्गोरिद्म को गणित के अन्य क्षेत्रों में विस्तारित किया गया, विशेष रूप से, गांठों और बहुआयामी बहुपदों तक।
और यद्यपि यूक्लिड के जीवन से बहुत पहले प्राचीन सभ्यताओं को शेष के बिना विभाजन ज्ञात था, यह उनके नाम के साथ है (और उनकी पद्धति के साथ) कि यह सामान्य गणितीय ऑपरेशन आज जुड़ा हुआ है, जो विशेष रूप से यूक्लिड के युग में उपयोगी हो गया है वैश्विक डिजिटलीकरण और कम्प्यूटरीकरण।
सहायता
मॉड्यूल्स की गणना कैसे करते हैं
यदि कैलकुलेटर एक प्राकृतिक संख्या को दूसरी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करता है जो पहले का गुणज नहीं है, तो गणना परिणाम दशमलव संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा: दशमलव बिंदु से पहले पूर्णांक मान के साथ और दशमलव बिंदु के बाद आंशिक मान के साथ। यह विभाजित करने का सबसे सामान्य तरीका है, लेकिन यह नहीं दिखाता कि कौन-सी पूर्णांक/प्राकृत संख्या शेषफल में जाती है।
उदाहरण के लिए, यदि आप 15 को 4 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल 3 होगा, और यदि आप 8 को 3 से विभाजित करते हैं, तो यह 2 होगा। इसे गणना के परिणामों से नहीं समझा जा सकता है, जो 3.75 और 2.66 होंगे, क्रमश। इसलिए, शेष के साथ विभाजन का संचालन एक अलग प्रक्रिया है, जिसके अपने ऑनलाइन कैलकुलेटर और अंकगणितीय नियम हैं।
शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन
जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे लाभांश कहा जाता है, और जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे भाजक कहा जाता है। तदनुसार, यदि लाभांश और भाजक दोनों सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो गणना सूत्र इस तरह दिखेगा: a = b ⋅ c + d, जहां a लाभांश है, b भाजक है, c अपूर्ण भागफल है, d शेषफल है . यह विधि विशेष रूप से यह निर्धारित करने के लिए उपयोगी है कि संख्याएँ सम हैं या विषम। इसलिए, यदि 2 से विभाजन का शेषफल शून्य है, तो संख्या सम है, और अन्य मानों के लिए यह विषम है।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें जब 10 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। हम मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: 10 = 3 ⋅ 3 + 1, क्रमशः - अविभाज्य शेष एक के बराबर है। डिविडेंड को भाजक (10/3) से भाग देकर हमें अधूरा भागफल (दूसरा ट्रिपल) मिला।
ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करें
आप न केवल धनात्मक (प्राकृतिक) संख्याओं को विभाजित करके, बल्कि धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं से भाग देकर भी शेषफल प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में, सूत्र इस तरह दिखेगा: d = a - b ⋅ c, जहां अक्षर पदनाम ऊपर वर्णित मात्राओं के अनुरूप हैं। वांछित शेष d निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार पाया जाता है:
भाज्य a और भाजक b का मापांक (सकारात्मक मान) खोजें।
इन मॉड्यूल का विभाजन आंशिक भागफल c और शेष d प्राप्त करने के लिए है।
यदि a और b के अलग-अलग चिह्न ("+" और "−") हैं, तो एक को अपूर्ण भागफल में जोड़ा जाता है।
उसके बाद, शेषफल की गणना d = a − b ⋅ c के रूप में की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि हम भाज्य 17 और भाजक -5 लें, तो हमें अपूर्ण भागफल 3 और अविभाज्य शेषफल 2 प्राप्त होता है। शेष 2 अपरिवर्तित।
इस नियम को टेक्स्ट फॉर्म में भी लिखा जा सकता है: "एक सकारात्मक पूर्णांक को एक नकारात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें इन संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने के परिणाम के विपरीत एक संख्या मिलती है।" इस मामले में "विपरीत" का अर्थ समान संख्या है, लेकिन "उलटा" चिह्न के साथ: "+" से "-" या "-" से "+"।
ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करें
इस गणितीय ऑपरेशन के निष्पादन को नियम द्वारा वर्णित किया गया है: "एक सकारात्मक पूर्णांक द्वारा एक नकारात्मक पूर्णांक को विभाजित करते समय एक अधूरा भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको इस संख्या के विपरीत को लागू करने और उसमें से एक को घटाने की आवश्यकता है।" इस मामले में क्रियाओं का एल्गोरिथम इस प्रकार है:
भाज्य और भाजक के मॉड्यूल खोजें।
प्राप्त मॉड्यूल को विभाजित करना।
प्राप्त संख्या के विपरीत संख्या लिखें।
परिणामी (विपरीत) संख्या से एक घटाएं।
उदाहरण के लिए, -19 के शेष के साथ 6 से विभाजित करने के लिए, आपको -19 और 6 को एक सामान्य मापांक ("+" चिह्न के साथ) कम करना होगा, और विभाजित करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप हमें भागफल मिलता है 3 और शेष 1। भागफल को विपरीत - 3 से उलट दें, और इसमें से एक घटाएं। मान −4 प्राप्त करने के बाद, हम सूत्र (d = a − b ⋅ c) का उपयोग करके शेषफल पाते हैं: −19 − 6 ⋅ (−4) = −19 − (−24) = −19 + 24 = 5.< /पी>
ऋणात्मक पूर्णांकों के शेष के साथ विभाजन
यदि भाज्य और भाजक दोनों ही ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो अविभाज्य शेष घटाव के साथ नहीं, बल्कि एक जोड़ के साथ पाया जाता है। अपने पूर्ण रूप में, नियम इस तरह दिखता है: "नकारात्मक पूर्णांकों को विभाजित करते समय एक अधूरा भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको मॉड्यूलो द्वारा विभाजित करने और परिणामी मूल्य में 1 जोड़ने की आवश्यकता होती है।" यानी आपको बदले में चाहिए:
भाज्य और भाजक के मॉड्यूल खोजें।
मॉड्यूल विभाजित करें - आंशिक भागफल और शेषफल के साथ।
आंशिक भागफल में एक जोड़ें।
उसके बाद, शेष मानक सूत्र d = a − b ⋅ c के अनुसार पाया जाता है - उपरोक्त उदाहरणों के समान। उदाहरण के लिए, -22 को -5 से विभाजित करने के लिए, आपको पहले उनके मॉड्यूल (22/5) को विभाजित करना होगा और भागफल 4 और शेष 2 प्राप्त करना होगा। फिर भागफल में एक जोड़ें, 5 प्राप्त करें और अंतिम गणना करें: -22 - (-5) ⋅ 5 = −22 − (−25) = −22 + 25 = 3।
इसी तरह, गणना किसी अन्य पूर्णांक के साथ की जाती है। विभाजन के बाद, हमेशा "+" या "-" चिन्ह के साथ एक पूर्णांक शेष रहता है, जो भाजक से कम होना चाहिए।
मैन्युअल रूप से ऐसी गणना करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है, और बड़ी संख्या के साथ काम करते समय यह बहुत कठिन भी होता है, इसलिए विशेष ऑनलाइन कैलकुलेटर बनाए गए जो दशमलव अंशों से नहीं, बल्कि पूरे शेषफल से विभाजित होते हैं।
हमसे संपर्क करें
गोपनीयता

firefly·zone